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ジャンケンの確率

ジャンケンに癖があるとかそういう内容ではありません。
同じ構造のゲームなら別にジャンケンである必要はなくて、単純に数学的な話です。


昨日我が兄弟から電話がかかってきて、教えてくれと言う。

5人で誰か1人が勝ち残るまでジャンケンをするときに、特定の一人(=彼だが)が勝ち残る確率は1/5でいいのか?

単純に考えれば、1/5。
でも、これは、場合の数とそこから計算する初歩的な確率の話(我々の時代でいうと高校数学Iの内容?)の範囲ではないのだ。我が兄弟も「もしかして妙なところに足つっこんだのか?」と言っていたがそのとおり。
なぜなら、このジャンケンゲームは無限に続く場合があるからだ。
だから、無限級数の話(これは数学III?だから文系の範囲ではない)も合わせないと教科書的な解法を示せない。
無限に関しては数学の苦手な人にとっては理解が難しいところの常連だから、この問題はパラドクシカルに書いてみせることもできよう(まったく違うが)。

A) このゲームは誰にとっても平等なんだから、特定の一人が勝つ確率は1/5のはずだ!
v.s.
B) でも、どういう場合があるか書き並べていくと、延々と終わらない場合てのもあるんだよ。しかもそういう場合が1通りじゃなく沢山ある。だから1/5より少ないんじゃないか?

答えを言ってしまえば、ええ、1/5ですよ。しかし、これに納得するには極限や無限級数を理解してください。


さて、彼の電話ではこれは本題ではなかった。だから、ああと納得して切った後、2度目がかかってくる。

本題。
彼はジャンケンが(運が?)強いらしい。そう友人に言ったところ、友人は何とかして彼を勝ち残らせないよう考えたとする。そうして、この5人のジャンケンゲーム参加者のうち彼以外の4人が結託して(つまり裏でつるんで)、なんとか彼が勝ち残る確率を下げるよう努力したとしよう。
その場合、どんな方法があって、いくらまで勝ち残る確率を下げることができるか?

注、最初に書いたようにこのゲームはジャンケンでなくてよい。少なくとも彼自身の手は完全にランダムに出されると前提する。だから、グーチョキパーを考えて出すと言うより、サイコロを振って1,2ならグー、3,4ならチョキ・・・と決めると思ってもらえばよい。

この問題について、我が兄弟は彼自身の回答を出してきて、私もそれに対して自分の回答を出した。
答えはここには書かないでおこう。
皆さんが自分で考えてみてください。

ギブアップな人は個人的に聞いて。

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追記

無限回の試行から連想してしまったので、ついでに書いておく。
下のような有名なゲームがある。

コインを投げて表だったら終了、裏だったら継続(再度コインを投げる)とする。 そして、終了するまでにコインを投げた回数を r として、終了時に 2 r 円もらえるとする。 つまり、いきなり表だったら2円、1回目は裏で2回目に表が出たら4円、3回目に表が出たら8円、4回目なら16円、・・・というルールだ。 さて、このゲームにいくら支払って参加するか?

すぐわかるとおり、このゲームも無限回続く可能性がある。
皆さんはいくら払うだろうか。10円も払いたくないだろうか?

このゲームの期待値は∞なのである。だから、規範的な解としては、1兆円払ってでも参加すべきとされる。
だけど払わないでしょう。

こんなのは、効用概念くらいで説明がついてしまう初歩的なものなのだが、それでも実際のところ、初々しい学部生に与えるインパクトは強烈である。一気に興味を引くことができる。
まあこれで学生を経済学に連れて行こうとするのはどうかと思うが。心理学へ来なさい。

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